Orientó la lente de las matemáticas sobre sí mismas y se encontró con su famoso "teorema de incompletitud", clavando una estaca en el corazón del formalismo matemático.
Kurt Gödel nació en 1906 en Brunn, en ese entonces parte del Imperio Austro-Húngaro, perteneciente ahora a la República Checa, su padre, quien tenía una fabrica textil tenía una afición por la lógica y la razón y su madre creyó que era necesario comenzar con la educación de su hijo a temprana edad. A los 10 años, Gödel estudiaba matemáticas, religión y varios idiomas. A los 25 había producido lo que muchos consideran el resultado matemático más importante del siglo XX: su famoso "teorema de incompletitud." Este asombroso y desorientador descubrimiento, publicado en 1931, probó que cerca de un siglo de esfuerzo protagonizado por los más grandes matemáticos estaba condenado al fracaso.
Para apreciar el teorema de Gödel, es crucial entender la forma en que las matemáticas eran percibidas en aquel tiempo. Después de varios siglos avanzando como una típica mixtura humana en la que intuiciones vagas y la precisión de la lógica coexistían en igualdad de condiciones, las matemáticas de fines del siglo XIX fueron finalmente cobrando una nueva forma. Se desarrollaron los llamados 'sistemas formales' (con los Principia Mathematica de Russell y Whitehead como principal ejemplo) en el que los teoremas, siguiendo estrictas reglas de inferencia, emergen de los axiomas de la misma forma en que las ramas brotan de un árbol. Este proceso de ramificación debía comenzar en alguna parte, es ahí donde los axiomas entran en acción: ellos corresponden a las semillas, los teoremas principales desde los cuales los demás teoremas emergen.
La belleza de esta visión mecanicista de las matemáticas radicaba en la eliminación de toda necesidad de pensamiento o juicio. Mientras los axiomas fueran enunciados verdaderos y mientras las reglas de inferencia preservaran esa verdad inicial, las matemáticas jamás podrían fallar; la falsedad simplemente sería incapaz de penetrar un dominio tan bien fortificado. La verdad sería una propiedad automáticamente heredada de teorema a teorema.
El conjunto de los símbolos en los cuales los enunciados de los sistemas formales fueron escritos generalmente incluían, para mayor claridad, numeros corrientes, sumas, paréntesis y otros, pero estos no eran necesariamente un requisito; los enunciados podrían igualmente ser construídos a partir de íconos semejantes a naranjas, manzanas, o cualquier otro conjunto totalmente arbitrario de marcas dejadas por las garras de un gato, siempre que esas marcas aparecieran en las posiciones y el orden adecuados. Los enunciados matemáticos en estos sistemas eran, y luego se hizo aparente, meramente patrones estructurados con precisión y elaborados con una serie de símbolos arbitrarios.
Pronto surgió la idea en algunas mentes incisivas, la de Gödel la más destacada entre ellas, que esta forma de mirar las cosas abría una nueva rama de las matemáticas-- llamadas, metamatemáticas. Los métodos familiares del análisis matemático podían ser usados para estudiar el mismísimo patrón de ramificaciones que constituía la esencia de los sistemas formales-- de los cuales las matemáticas mismas se suponía eran el principal ejemplo. De esta forma las matemáticas se tornaban sobre sí mismas, como una serpiente que se devora.
Gödel mostró que aparecen consecuencias extrañísimas cuando la lente de las matemáticas se enfoca sobre las mismas matemáticas. Una forma de hacer esto más concreto es imaginar que en otro planeta (digamos, Marte) todos los símbolos usados para escribir los libros de matemáticas resultan ser---por alguna extraña razón-- análogos a nuestros números del 0 al 9. De esta forma, cuando los Marcianos discuten en sus libros un cierto famoso descubrimiento que acá en la Tierra atribuímos a Euclides y que expresaríamos como sigue: "Existen infinitos números primos" lo que escribirían resultaría lucir algo así como: "098723094572094720349709872349870592734." Para nosotros luciría como un enorme número de varios dígitos. Para estos marcianos, sin embargo, no se trataría de un número en absoluto, sino de un enunciado; de hecho, para ellos sería la aseveración de la infinitud de los números primos de manera tan transparente como los 32 caracteres que forman las 4 palabras del teorema de Euclides que enunciamos.
Ahora imaginemos que queremos hablar acerca de la naturaleza general de todos los teoremas de las matemáticas. Si miramos en los textos de estos marcianos, todos lucirían para nosotros como simples números. Y es así como podríamos pensar en una teoría bien elaborada acerca de los números que podrían llegar a aparecer en los libros marcianos y de los que jamás podrían aparecer. Por supuesto que no estaríamos simplemente hablando acerca de números, sino más bien acerca de cadenas de símbolos que para nosotros lucirían como números. ¿Podría resultar más fácil para nosotros olvidar lo que esas cadenas de símbolos significan para los marcianos y simplemente mirarlos como números?
A partir de este simple cambio de perspectiva, Gödel creó magia pura. El truco Gödeliano es imaginar que estudiamos lo que podría ser llamado "numeros Marciano-producibles" (esos números son en realidad teoremas en los libros marcianos), y formular preguntas tales como, "¿Es o no es el número 09834998787698787698698769869876968 marciano-producible (M.P., para abreviar)?" Esta pregunta significa, podrá la proposición 09834998787698787698698769869876968 aparecer en un libro marciano?
Gödel, pensando muy cuidadosamente en este escenario algo surrealista, pronto se dio cuenta de que la propiedad de ser M.P. no era nada distinta de las nociones familiares de "número primo", "número impar", o cualquier otra. De esta forma los expertos en teoría de números asentados en Tierra podrían, con sus herramientas típicas, abordar preguntas tales como, "¿Qué números son M.P., y cuáles no?" por ejemplo, o "¿Existen infinitos números no M.P.?" Textos de matemáticas avanzadas-- en Tierra, y en principio en Marte también-- podrían tener capítulos completos dedicados a los números M.P.
De esta manera, en una de las intuiciones más penetrantes de las matemáticas, Gödel concibió una proposición notable que dice simplemente, "X no es un número M.P" donde X es exactamente el mismo número que se lee cuando la proposición "X no es un número M.P." se traduce a la notación marciana. Piense el lector en esta idea por un tiempo hasta comprenderla. Traducida a la notación marciana, la proposición "X no es un número M.P." sería simplemente una enorme cadena de dígitos-- un enorme número. Pero esa cadena de caracteres marcianos sería nuestro número para el valor X (acerca del cual el enunciado mismo habla). Auto-referencia en su estado puro. Esa era la especialidad de Gödel-- auto referencias en la constitución del espacio tiempo, auto referencias en el razonamiento, auto referencias de toda clase y naturaleza.
Al pensar en los teoremas como patrones de símbolos, Gödel descubrió que un enunciado de un sistema formal puede no sólo hablar acerca de sí mismo, sino también negar su propia validez. Las consecuencias de estas trampas acechando al interior de las matemáticas fueron profundas, sorprendentes y --curiosamente también-- muy tirstes para estos 'marcianos'. ¿Por qué tristes? Porque los marcianos-- como Russel y Whitehead-- esperaban con todo su corazón que su sistema formal capturaría todas las proposiciones verdaderas de las matemáticas. Si el enunciado de Gödel era cierto, entonces no sería un teorema en sus textos y jamás aparecería en ellos-- porque dice que no es un teorema. Si apareciera en sus libros marcianos, entonces lo que dice acerca de sí mismo sería incorrecto (pues, si está en el libro debe ser un teorema) ¿Y quién-- incluso en Marte-- querría libros de matemáticas enunciando proposiciones falsas como si fueran ciertas?
La conclusión finalmente es que la soñada meta de la formalización resulta ser una utopía. Todos los sistemas formales -- al menos aquellos lo suficientemente potentes para ser interesantes-- resultan ser incompletos dado que tienen la capacidad de expresar enunciados que dicen de sí mismos que no pueden ser demostrados. Y eso, en pocas palabras, es de lo que se habla cuando se dice que Gödel demostró en 1931 el teorema de "Incompletitud de las matemáticas". No es realmente que la Matemática en sí sea incompleta, sino cualquier sistema formal que intente capturar todas las verdades de las matemáticas en un conjunto finito de axiomas y reglas. Para el lector puede que este no sea un resultado impresionante, pero para los matemáticos de los '30 este resultado trastocó completamente su mirada del mundo, y las matemáticas jamás han vuelto a ser las mismas desde entonces.
El artículo de Gödel de 1931 hizo incluso más: inventó la teoría de las funciones recursivas, la base de una poderosa teoría de las ciencias de la computación. De hecho, en el corazón del artículo de Gödel radica lo que puede ser visto como un elaborado programa computacional para producir números M.P., y este "programa" está escrito en un formalismo que recuerda fuertemente el lenguaje LISP, el que no sería inventado sino hasta unos 30 años más tarde.
Gödel, el hombre, fue tan excéntrico como sus propias teorías. Él y su esposa Adele, una bailarina, huyeron de los Nazis en 1939 para instalarse en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde trabajó con Einstein. En sus últimos años Gödel cultivó una paranoia relacionada con la propagación de gérmenes, comenzando a hacerse cada vez más notoria su compulsión por la limpieza de sus utensilios para comer y por utilizar una máscarilla de esquiar dondequiera que fuese. Murió a la edad de 72 años en el hospital de Princeton, básicamente porque se negó a seguir comiendo. De la misma forma en que los sistemas formales, debido a su propio poder, están condenados a la incompletitud, los seres vivientes, dada su complejidad, están condenados a perecer, cada uno a su manera.
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